Để chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( DE \), ta có thể sử dụng các tính chất hình học cơ bản và tính đối xứng.

1. **Đặt các điểm**:
- \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác.
- \( H \) là điểm thuộc cạnh \( BC \) với \( AH \perp BC \).
- \( D \) là điểm được dựng sao cho \( AD \perp AB \) và \( AD = AB \).
- \( E \) là điểm được dựng sao cho \( AE \perp AC \) và \( AE = AC \).

2. **Tính chất hình học**:
- Tính chất vuông của các đoạn thẳng:
- Vì \( AD \perp AB \) tại \( A \) và \( AE \perp AC \) tại \( A \) nên tam giác \( ABD \) là tam giác vuông tại \( A \), và tam giác \( ACE \) cũng là tam giác vuông tại \( A \).
- Nhờ điều này, ta có \( AD \) và \( AE \) là hai cạnh vuông góc với nhau ở \( A \).

3. **Khoảng cách**:
- Vì \( AD = AB \) => \( D \) nằm trên đường tròn có tâm tại \( A \) và bán kính \( AB \).
- Tương tự, vì \( AE = AC \) => \( E \) cũng nằm trên đường tròn có tâm tại \( A \) và bán kính \( AC \).

4. **Tính chất đối xứng**:
- Do \( D, E \) được xác định bởi các đoạn thẳng vuông góc cùng độ dài từ đỉnh \( A \), nên \( DE \) có tính đối xứng qua \( AH \). Điều này có nghĩa là \( D \) và \( E \) là đối xứng nhau qua đường thẳng \( AH \).
- Khi nối \( D \) và \( E \), vì tính đối xứng đó, điểm giao \( M \) (điểm mà đường thẳng \( AH \) cắt \( DE \)) sẽ chia đoạn \( DE \) thành hai đoạn bằng nhau.

5. **Kết luận**:
- Do đó, \( M \) là trung điểm của đoạn \( DE \).

Vậy ta chứng minh rằng điểm \( M \) chính là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).