Tứ giác ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=BC=CD=AD\\\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^0\end{cases}}\)

Mà \(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AB-AM=BC-BN=CD-CP=AD-DQ\)

\(\Rightarrow BM=CN=DP=AQ\)

Xét các tam giác AQM, BMN, CNP và DPQ, ta có:

\(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\); \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}\left(cmt\right)\)và \(AQ=BM=CN=DP\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AQM=\Delta BMN=\Delta CNP=\Delta DPQ\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}QM=MN=NP=PQ\\\widehat{AQM}=\widehat{BMN}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình thoi.

Vì \(\Delta AMQ\)vuông tại A nên \(\widehat{AQM}+\widehat{AMQ}=90^0\), mà \(\widehat{AQM}=\widehat{BMN}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)

Lại có \(\widehat{NMQ}=180^0-\left(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}\right)=180^0-90^0=90^0\)

Hình thoi MNPQ (cmt) có \(\widehat{NMQ}=90^0\left(cmt\right)\Rightarrow\)MNPQ là hình vuông (đpcm)