Để giải bài toán này, ta sẽ xác định các góc trong các tam giác và áp dụng các tính chất về tia phân giác và đường thẳng song song. Ta có các dữ liệu như sau:

1. **Cho góc**: \( \angle ABC = 50^\circ \) và \( \angle ACB = 110^\circ \).
2. **MN // AB**: từ đặc điểm này, ta có thể áp dụng định lý về góc đồng vị.

### a) Tính số đo các góc của \( \triangle NMC \)

- **Đối với \( \triangle NMC \)**:
- \( \angle NMC = \angle ABC = 50^\circ \) (góc đồng vị).
- \( \angle NCM = 180^\circ - (110^\circ + 50^\circ) = 20^\circ \).
- Góc còn lại:
\[
\angle NCM = 180^\circ - (50^\circ + 20^\circ) = 110^\circ.
\]

### b) Tính số đo các góc của \( \triangle BNM \)

- **Trong \( \triangle BNM \)**, vì \( BN \) là tia phân giác của \( \angle ABC \):
- \( \angle ABN = \frac{1}{2} \angle ABC = 25^\circ \).
- Từ đó,
- \( \angle BNM = 180^\circ - (25^\circ + 110^\circ) = 45^\circ \).
- Góc còn lại
\[
\angle NBM = 180^\circ - (110^\circ + 25^\circ) = 45^\circ.
\]

### c) Tính số đo các góc của \( \triangle ABN \)

- **Trong \( \triangle ABN \)**:
- Ta đã có \( \angle ABN = 25^\circ \).
- \( \angle ANB = 110^\circ \).
- Góc còn lại
\[
\angle ANB = 180^\circ - (25^\circ + 110^\circ) = 45^\circ.
\]

### Tóm tắt kết quả:

- a) Các góc của \( \triangle NMC: 50^\circ, 20^\circ, 110^\circ \).
- b) Các góc của \( \triangle BNM: 25^\circ, 45^\circ, 110^\circ \).
- c) Các góc của \( \triangle ABN: 25^\circ, 110^\circ, 45^\circ \).