Để chứng minh rằng AHCK là hình bình hành và A, O, C thẳng hàng trong hình bình hành ANCD, chúng ta sẽ tiến hành các bước sau:

### a. Chứng minh AHCK là hình bình hành
1. **Xét các đoạn AH và CK**:
- Vì AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K, nên các đoạn AH và CK đều song song với nhau (cùng vuông góc với cùng một đường thẳng BD).
- Suy ra: \(AH \parallel CK\).

2. **Xét các đoạn AC và HK**:
- Trong hình bình hành ANCD, đoạn AC và đoạn HK nối hai điểm H và K (tương ứng với độ dài HK và AC trong hình bình hành) không chỉ song song mà còn bằng nhau (xét tứ giác AHCK).
- Vì A là đỉnh trên cùng, H là điểm vuông góc với BD, K nằm dưới nó trên cùng một đường thẳng và C cũng là một đỉnh đối diện HC của hình bình hành.
- Suy ra: \(AC = HK\).

3. **Tóm lại**:
- Chúng ta có: \(AH \parallel CK\) và \(AC = HK\), do đó AHCK là một hình bình hành.

### b. Chứng minh A, O, C thẳng hàng
1. **O là trung điểm của HK**:
- Như vậy, \(OH = OK\).

2. **Xét độ dài**:
- Vì HK là một đoạn nằm trên BD, mà AHCK là một hình bình hành, nên đoạn AC đầy đủ cũng nằm trên đường thẳng nối A với C.
- Do đó, \(AO + OC = AC\).

3. **Vì O là trung điểm của HK**:
- Vậy tuy O có thể không nằm trên đoạn AC nhưng có tính chất là \(AO = OC\).

4. **Kết luận**:
- Do tính đối xứng của hình bình hành AHCK, \(A, O, C\) đồng thẳng. Do vậy, ta suy ra A, O, và C là ba điểm thẳng hàng.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công rằng AHCK là hình bình hành và A, O, C thẳng hàng trong hình bình hành ANCD.