Để phân tích thành nhân tử các biểu thức đã cho, chúng ta áp dụng công thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu.

1. **Phân tích biểu thức \((3x + 5y)^2\)**:
- Theo công thức \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), ta có:
\[
(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (5y) + (5y)^2
\]
- Tính từng phần:
- \((3x)^2 = 9x^2\)
- \(2 \cdot (3x) \cdot (5y) = 30xy\)
- \((5y)^2 = 25y^2\)
- Kết hợp lại:
\[
(3x + 5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2
\]

2. **Phân tích biểu thức \(\left(5x - \frac{1}{2}y\right)^2\)**:
- Theo công thức \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), ta có:
\[
\left(5x - \frac{1}{2}y\right)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) + \left(\frac{1}{2}y\right)^2
\]
- Tính từng phần:
- \((5x)^2 = 25x^2\)
- \(-2 \cdot (5x) \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) = -5xy\)
- \(\left(\frac{1}{2}y\right)^2 = \frac{1}{4}y^2\)
- Kết hợp lại:
\[
\left(5x - \frac{1}{2}y\right)^2 = 25x^2 - 5xy + \frac{1}{4}y^2
\]

Tóm lại:
- \((3x + 5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2\)
- \(\left(5x - \frac{1}{2}y\right)^2 = 25x^2 - 5xy + \frac{1}{4}y^2\)

Hy vọng bạn hài lòng với kết quả và cách trình bày này!