Chúng ta sẽ tính biểu thức sau:

\[
x = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}
\]

Trước tiên, ta sẽ tính từng phần của biểu thức.

**Bước 1: Tính \(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}\)**

Ta sẽ tìm hằng số \(a\) và \(b\) sao cho:

\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]

Bình phương hai vế ta có:

\[
11 + 6\sqrt{2} = a + b + 2\sqrt{ab}
\]

So sánh hệ số, ta có:

1. \(a + b = 11\)
2. \(2\sqrt{ab} = 6\sqrt{2}\) \(\Rightarrow \sqrt{ab} = 3\sqrt{2} \Rightarrow ab = 18\)

Ta cần giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
a + b = 11 \\
ab = 18
\end{cases}
\]

Gọi \(a\) và \(b\) là các nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
t^2 - (a + b)t + ab = 0 \Rightarrow t^2 - 11t + 18 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 11^2 - 4 \times 18 = 121 - 72 = 49
\]

Công thức nghiệm:

\[
t = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2}
\]

Do đó, \(t_1 = 9\) và \(t_2 = 2\).

Vậy \(a = 9\) và \(b = 2\). Do đó:

\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}
\]

**Bước 2: Tính \(\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}\)**

Ta cũng tìm hằng số \(c\) và \(d\) sao cho:

\[
\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{c} - \sqrt{d}
\]

Bình phương hai vế ta có:

\[
6 - 4\sqrt{2} = c + d - 2\sqrt{cd}
\]

So sánh hệ số, ta có:

1. \(c + d = 6\)
2. \(-2\sqrt{cd} = -4\sqrt{2}\) \(\Rightarrow \sqrt{cd} = 2\sqrt{2} \Rightarrow cd = 8\)

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
c + d = 6 \\
cd = 8
\end{cases}
\]

Gọi \(c\) và \(d\) là các nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
t^2 - 6t + 8 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 6^2 - 4 \times 8 = 36 - 32 = 4
\]

Công thức nghiệm:

\[
t = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}
\]

Do đó, \(t_1 = 4\) và \(t_2 = 2\).

Vậy \(c = 4\) và \(d = 2\). Do đó:

\[
\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{4} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}
\]

**Bước 3: Tính \(x\)**

Giờ ta tính \(x\):

\[
x = (3 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{1 + 2\sqrt{2}}
\]