Tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuông với BC. Cho biết BAH = HAM = MAC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông và tam giác ABM là tam giác đều

Để chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông và tam giác ABM là tam giác đều theo giả thiết đã cho, chúng ta sẽ đi theo từng bước sau:

1. **Hình vẽ:**
- Chúng ta có tam giác ABC với AB < AC.
- M là trung điểm của đoạn BC.
- Vẽ AH vuông góc với BC (tức là AH ⊥ BC).

2. **Dữ liệu của bài toán:**
- Có BAH = HAM = MAC.

3. **Xét tam giác ABM:**
- Chúng ta có AM là đoạn nối từ A đến M. M là trung điểm của BC, do đó BM = MC.
- Theo giả thiết, góc BAH = góc HAM, tức là góc BAH chính là góc HAM. Khi đó, AH chia tam giác ABM thành hai tam giác con với góc A giống nhau.
- Chúng ta có:
- BA = AB
- BM = AM (vì M là trung điểm và BAH = HAM).
- Vậy theo tiêu chí của tam giác đều:
- Ta suy ra AB = AM = BM.

4. **Tính chất của các góc:**
- Vì BAH = HAM, nên BM tạo thành một tam giác có tất cả các góc đều bằng nhau.
- Điều này cho thấy ABM là một tam giác đều.

5. **Tam giác ABC:**
- Theo giả thiết, tam giác BAH và HAM có cùng kích thước góc, điều này cho thấy rằng méo phía VEC, góc tại A (góc BAC) bằng 90 độ.
- Vì AH nằm vuông góc với BC, tam giác ABC cũng là một tam giác vuông tại A.

6. **Kết luận:**
- Do đó, từ các yếu tố đã phân tích, chúng ta có thể khẳng định:
- Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
- Tam giác ABM là tam giác đều.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.