Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai C = x² − 4xy + 5y² + 10x − 22y + 28, ta sẽ chuyển nó về dạng chuẩn và sử dụng phương pháp đạo hàm bậc hai hoặc tìm cực trị trong mặt phẳng.

Hàm số C là một đa thức bậc hai trong hai biến x và y. Đầu tiên, ta có thể viết lại nó dưới dạng ma trận:

\[
C = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & -22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + 28
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm nghiệm của hệ phương trình bậc hai. Ta cũng có thể tính điểm cực trị bằng đạo hàm.

Ta tìm đạo hàm riêng của C theo x và y và đặt chúng bằng 0:

1. Đạo hàm riêng theo x:

\[
\frac{\partial C}{\partial x} = 2x - 4y + 10 = 0
\]

2. Đạo hàm riêng theo y:

\[
\frac{\partial C}{\partial y} = -4x + 10y - 22 = 0
\]

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x - 4y + 10 = 0 \\
-4x + 10y - 22 = 0
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên theo x:

\[
2x = 4y - 10 \implies x = 2y - 5
\]

Thay x vào phương trình thứ hai:

\[
-4(2y - 5) + 10y - 22 = 0 \\
-8y + 20 + 10y - 22 = 0 \\
2y - 2 = 0 \implies y = 1
\]

Thay giá trị y = 1 vào x = 2y - 5:

\[
x = 2(1) - 5 = -3
\]

Vậy điểm cực trị (x, y) = (-3, 1).

Tiếp theo, ta tính giá trị C tại điểm này:

\[
C(-3, 1) = (-3)^2 - 4(-3)(1) + 5(1)^2 + 10(-3) - 22(1) + 28
\]
\[
= 9 + 12 + 5 - 30 - 22 + 28
\]
\[
= 9 + 12 + 5 - 30 - 22 + 28 \\
= 2
\]

Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của C là:

\[
\boxed{2}
\]