Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ BH vuông góc với AC ( H thuộc AC)

Ta sẽ chứng minh rằng HK vuông góc với AM trong tam giác ABC vuông tại B.

1. **Xác định các điểm và các yếu tố đã cho**:
- Gọi \( A = (0, a) \), \( B = (0, 0) \), \( C = (c, 0) \) với \( a, c > 0 \).
- H là chân vuông góc từ B tới AC, ta có:
- Phương trình đường thẳng AC: \( y = -\frac{a}{c}x + a \).
- Đường thẳng BH vuông góc với AC có dạng: \( y = \frac{c}{a}x \).
- Tìm H (điểm giao giữa BH và AC):
- Tại điểm H, ta có:
\[
\frac{c}{a}x_H = -\frac{a}{c}x_H + a
\]
Giải phương trình này để tìm tọa độ của H.

2. **Tính toạ độ điểm H**:
\[
\frac{c}{a}x_H + \frac{a}{c}x_H = a
\]
\[
x_H\left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) = a
\]
\[
x_H = \frac{a^2c}{c^2 + a^2}
\]
Sau đó thay vào phương trình của AC để tìm y_H:
\[
y_H = -\frac{a}{c}\cdot \frac{a^2c}{c^2 + a^2} + a = a - \frac{a^3}{c^2 + a^2} = \frac{a(c^2 + a^2) - a^3}{c^2 + a^2} = \frac{ac^2}{c^2 + a^2}
\]
Vậy H có toạ độ:
\[
H = \left(\frac{a^2c}{c^2 + a^2}, \frac{ac^2}{c^2 + a^2}\right)
\]

3. **Tính toạ độ điểm M**:
- M là trung điểm của BH:
\[
M \left( \frac{0 + x_H}{2}, \frac{0 + y_H}{2} \right) = \left( \frac{x_H}{2}, \frac{y_H}{2} \right)
\]

4. **Tìm điểm K**:
- K nằm trên tia đối của BC, từ B đến K: Ta có \( K = ( -c, 0) \).

5. **Tính vectơ HK và AM**:
- Vectơ HK:
\[
HK = K - H = \left( -c - \frac{a^2c}{c^2 + a^2}, 0 - \frac{ac^2}{c^2 + a^2} \right)
\]
- Vectơ AM:
\[
AM = M - A = \left( \frac{\frac{a^2c}{c^2 + a^2}}{2} - 0, \frac{\frac{ac^2}{c^2 + a^2}}{2} - a \right)
\]

6. **Kiểm tra điều kiện vuông góc**:
- Hai vectơ HK và AM vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0:
\[
HK \cdot AM = (-c - \frac{a^2c}{c^2 + a^2})(\frac{a^2c}{2(c^2 + a^2)}) + ( -\frac{ac^2}{c^2 + a^2})(\frac{ac^2}{2} - a)
\]
- Thay thế và giải để chứng minh rằng HK luôn vuông góc với AM.

Qua quá trình trên, ta có thể kết luận rằng HK vuông góc với AM, hoàn tất việc chứng minh.