Để giải bài toán này, ta có thể hình dung cây tre bị gãy tạo thành một tam giác vuông, trong đó:

- Chiều cao của cây tre là \( 9 \) m (độ cao từ gốc đến điểm gãy).
- Chiều dài từ điểm gãy đến nơi ngọn cây chạm đất là \( 3 \) m (nằm ngang).

Ta cần tìm độ dài đoạn từ gốc cây đến điểm gãy.

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Trong đó:
- \( a \) là chiều cao từ gốc đến điểm gãy (chưa biết và cần tìm).
- \( b \) là khoảng cách ngang từ điểm gãy đến chỗ ngọn chạm đất, bằng \( 3 \) m.
- \( c \) là chiều cao toàn bộ của cây, bằng \( 9 \) m.

Thay vào công thức:

\[
a^2 + 3^2 = 9^2
\]

Tính toán:

\[
a^2 + 9 = 81
\]

\[
a^2 = 81 - 9 = 72
\]

\[
a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 \text{ m}
\]

Như vậy, điểm gãy cách gốc cây khoảng \( 6\sqrt{2} \) m (hoặc khoảng 8.49 m).