Cho hình thang ABCD với AB || CD. Trên cạnh bên AD lấy các điểm E và G sao cho AE = EG = GD. Trên cạnh bên BC lấy các điểm F và H sao cho hai đường thẳng EF và GH song song với hai đáy của hình thang

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### (a) Chứng minh rằng \( BF = FH = HC \)

1. **Xét hình thang ABCD**: Vì \( AB \parallel CD \), theo tính chất của hình thang, đường thẳng kéo dài từ các đỉnh bên cạnh sẽ cắt các đoạn thẳng song song thành những đoạn tỉ lệ.

2. **Gọi các điểm**:
- \( E \) và \( G \) nằm trên cạnh \( AD \) sao cho \( AE = EG = GD \).
- Đặt \( AE = x \), do đó \( AD = 3x \).

3. **Sử dụng tỉ lệ**:
- Từ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, ta có:
\[
\frac{BF}{FH} = \frac{AE}{EG} = 1 \Rightarrow BF = FH
\]
- Tương tự, ta có \( FH = HC \) do \( EF \parallel GH \).

4. **Kết luận**: Từ đó, ta suy ra rằng \( BF = FH = HC \).

### (b) Chứng minh rằng \( EF = \frac{2AB + CD}{3} \) và \( GH = \frac{AB + 2CD}{3} \)

1. **Xét độ dài các đoạn EF và GH**:
- Ta có \( EF \parallel AB \) và \( GH \parallel CD \).

2. **Tính độ dài EF**:
- Theo tỉ lệ, ta có:
\[
EF = \frac{2AB + 1CD}{3} = \frac{2AB + CD}{3}
\]

3. **Tính độ dài GH**:
- Tương tự, ta có:
\[
GH = \frac{1AB + 2CD}{3} = \frac{AB + 2CD}{3}
\]

### Kết luận tổng quát
- Từ những phân tích trên, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.