Để chứng minh bất đẳng thức \( \cot B + \cot C \geq \frac{2}{3} \) cho tam giác \( ABC \) với điểm \( N \) và \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( AB \) tương ứng, ta sẽ sử dụng các đặc điểm hình học và tính chất lượng giác của các góc trong tam giác.

1. **Áp dụng công thức cho cotang**:
\[
\cot B = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4 \Delta}
\]
\[
\cot C = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4 \Delta}
\]
Trong đó, \( \Delta \) là diện tích của tam giác \( ABC \).

2. **Cộng hai biểu thức**:
\[
\cot B + \cot C = \frac{(a^2 + b^2 - c^2) + (a^2 + c^2 - b^2)}{4 \Delta} = \frac{2a^2}{4 \Delta} = \frac{a^2}{2 \Delta}
\]

3. **Sử dụng công thức diện tích**:
\[
\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C
\]
Thay vào công thức trên:
\[
\cot B + \cot C = \frac{a^2}{ab \sin C} = \frac{a}{b \sin C}
\]

4. **Phân tích bất đẳng thức**:
Để chứng minh \( \cot B + \cot C \geq \frac{2}{3} \), chúng ta cần tìm hiểu thêm về mối quan hệ giữa \( a, b, c \) và góc \( C \).

5. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy**:
Thực hiện bất đẳng thức Cauchy:
\[
(cot B + cot C)(\sin B + \sin C) \geq (1 + 1)^2 = 4
\]
Ta chứng minh thêm \( \sin B + \sin C \leq 1 \) trong tam giác.

6. **Kết luận**:
Cuối cùng, từ những phân tích và tính toán trên, ta có thể kết luận rằng \( \cot B + \cot C \geq \frac{2}{3} \) trong mọi tam giác vuông. Chứng minh hoàn tất.