Để giải phương trình

\[
x^2 + 7y^2 + 5 + 14y = 4x,
\]

ta sẽ sửa lại phương trình một chút:

\[
x^2 - 4x + 7y^2 + 14y + 5 = 0.
\]

Từ đây, chúng ta có thể coi phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến \(x\):

\[
x^2 - 4x + (7y^2 + 14y + 5) = 0.
\]

Để phương trình có nghiệm thực theo \(x\), thì delta (\(\Delta\)) của nó phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta được tính theo công thức:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7y^2 + 14y + 5).
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 16 - 4(7y^2 + 14y + 5) = 16 - 28y^2 - 56y - 20 = -28y^2 - 56y - 4.
\]

Để phương trình có nghiệm thực, ta cần:

\[
-28y^2 - 56y - 4 \geq 0.
\]

Chia tất cả các hệ số của bất phương trình này cho -4 (và đổi dấu):

\[
7y^2 + 14y + 1 \leq 0.
\]

Giải bất phương trình này, chúng ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
7y^2 + 14y + 1 = 0.
\]

Tính delta:

\[
\Delta' = 14^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 196 - 28 = 168.
\]

Nghiệm của phương trình là:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta'}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{168}}{2 \cdot 7} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{42}}{14} = -1 \pm \frac{\sqrt{42}}{7}.
\]

Gọi \(y_1 = -1 - \frac{\sqrt{42}}{7}\) và \(y_2 = -1 + \frac{\sqrt{42}}{7}\).

Kiểm tra dấu của \(7y^2 + 14y + 1\):

Bất phương trình này có dạng mở lên, vì vậy nó sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng giữa hai nghiệm:

\[
y_1 \leq y \leq y_2.
\]

Tính toán giá trị gần đúng của các nghiệm:

\(y_1 \approx -1 - 0.563 = -1.563\) và \(y_2 \approx -1 + 0.563 = -0.437\).

Vậy khoảng chứa các giá trị nguyên của \(y\) là:

\[
y = -1.
\]

Thay \(y = -1\) vào phương trình gốc:

\[
x^2 + 7(-1)^2 + 5 + 14(-1) = 4x.
\]

Giải phương trình này:

\[
x^2 + 7 - 5 - 14 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x - 12 = 0.
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64.
\]

Giải phương trình có nghiệm:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}.
\]

Nghiệm là:

\[
x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2.
\]

Tóm lại, các cặp giá trị nguyên \((x, y)\) thoả mãn là:

\[
(x, y) = (6, -1) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-2, -1).
\]