Để giải phương trình:

\[
\left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \left( 2y+\sqrt{4y^2+1} \right) = 1,
\]

ta đặt:

\[
u = x + \sqrt{x^2 + 1}, \quad v = 2y + \sqrt{4y^2 + 1}.
\]

Phương trình trở thành \( uv = 1 \), suy ra \( v = \frac{1}{u} \).

Xét phương trình \( u = x + \sqrt{x^2 + 1} \):

\[
\sqrt{x^2 + 1} = u - x \implies x^2 + 1 = (u - x)^2.
\]

Giải phương trình này:

\[
x^2 + 1 = u^2 - 2ux + x^2 \implies 1 = u^2 - 2ux \implies 2ux = u^2 - 1 \implies x = \frac{u^2 - 1}{2u}.
\]

Xét tiếp phương trình \( v = 2y + \sqrt{4y^2 + 1} \):

\[
\sqrt{4y^2 + 1} = v - 2y \implies 4y^2 + 1 = (v - 2y)^2.
\]

Giải phương trình này:

\[
4y^2 + 1 = v^2 - 4vy + 4y^2 \implies 1 = v^2 - 4vy \implies 4vy = v^2 - 1 \implies y = \frac{v^2 - 1}{4v}.
\]

Ta có:

\[
x = \frac{u^2 - 1}{2u}, \quad y = \frac{v^2 - 1}{4v}.
\]

Thay \( v = \frac{1}{u} \) vào biểu thức cho \( y \):

\[
y = \frac{\left( \frac{1}{u} \right)^2 - 1}{4 \cdot \frac{1}{u}} = \frac{\frac{1}{u^2} - 1}{\frac{4}{u}} = \frac{1 - u^2}{4u}.
\]

Tính \( x^3 + 8y^3 \):

Biểu thức \( x^3 + 8y^3 \) sẽ trở thành:

\[
x^3 + 8y^3 = \left( \frac{u^2 - 1}{2u} \right)^3 + 8 \left( \frac{1 - u^2}{4u} \right)^3.
\]

Tính từng phần:

1. Tính \( x^3 \):

\[
x^3 = \frac{(u^2 - 1)^3}{8u^3}.
\]

2. Tính \( 8y^3 \):

\[
y^3 = \frac{(1 - u^2)^3}{64u^3} \implies 8y^3 = \frac{(1 - u^2)^3}{8u^3}.
\]

Bây giờ cộng hai biểu thức:

\[
x^3 + 8y^3 = \frac{(u^2 - 1)^3 + (1 - u^2)^3}{8u^3}.
\]

Sử dụng hằng đẳng thức \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \):

Đặt \( a = u^2 - 1 \) và \( b = 1 - u^2 \):

\[
(u^2 - 1) + (1 - u^2) = 0,
\]
do đó \( x^3 + 8y^3 = 0 \).

Vậy biểu thức cần tìm là:

\[
x^3 + 8y^3 + 2019 = 0 + 2019 = 2019.
\]

Cuối cùng, giá trị cần tìm là:

\[
\boxed{2019}.
\]