Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ đi qua từng phần một.

### A) Chứng minh AFMD, BDME, CEMF là các hình thang cân.

1. **AFMD**:
- Đường MF là đường thẳng song song với AC (do khi kẻ từ M song song với AC cắt BC tại E, và song song với AB cắt AC tại F).
- Vì AC || MF, AM là đường chéo, suy ra AFMD là hình thang.
- Tính chất của tam giác đều cho thấy rằng các góc tại A và F đều bằng nhau, nên AFMD là hình thang cân.

2. **BDME**:
- Tương tự, DE là đường thẳng song song với BC, chịu tác động của các đường thẳng cụ thể với góc tại điểm B và E.
- Bằng cách nhìn nhận góc tại B và E, tương tự cho BDME là hình thang cân.

3. **CEMF**:
- DE là đường thẳng song song với AB, góc tại C và F cũng bằng nhau vì tính chất với tam giác đều của ABC.
- Do đó, CEMF cũng là hình thang cân.

### B) Chứng minh góc DME = góc FME = góc DMF.

- Ở điểm M, do EF và DE đều là các đường thẳng song song với các cạnh khác của tam giác đều, nên tạo thành các cặp góc đồng vị và góc trong cùng phía.
- Cụ thể, ta có:
- Vì DE || BC và MF || AC nên góc DME = góc BMC (góc trong cùng phía).
- Tương tự, góc FME = góc AMC (góc trong cùng phía).
- Từ đó, ta có:
- \( \angle DME = \angle BMC \)
- \( \angle FME = \angle AMC \)
- Bởi vì các tam giác này đối xứng và giữ nguyên tính chất, ta có \( \angle DME = \angle FME \) và \( \angle DMF = \angle FME \).

### C) Điểm M phải ở vị trí nào để tam giác DEF là tam giác đều? Tính chu vi theo chiều cao AH của tam giác ABC.

- Để tam giác DEF là tam giác đều, ba điểm D, E, F phải có khoảng cách bằng nhau.
- Một trong những điều kiện để có được tam giác đều DEF là M phải là trung điểm của đoạn thẳng nối các chân Đường cao của tam giác ABC.

Thực chất, nếu M là trung điểm của tất cả các đường cao từ A, B, C xuống các cạnh tương ứng, thì D, E, F sẽ tự nhiên tạo thành các cạnh của tam giác DEF đều.

### Tính chu vi của DEF theo chiều cao AH của tam giác ABC:

- Gọi chiều cao AH của tam giác ABC là h.
- Ta biết rằng trong tam giác đều với cạnh a, chiều cao h sẽ bằng \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \).
- Nếu DEF là tam giác đều với cạnh x, nhất quán với tam giác ABC, ta có:
- Chu vi P = 3x, đồng thời để x làm cho DEF đều, x sẽ được tính dựa trên sự phân chia chiều cao.

Giả sử h là chiều cao của tam giác ABC:

\[
P = 3 \cdot \frac{h}{k}
\]
với \( k \) là hệ số tùy thuộc vào vị trí M, thường sẽ là một hằng số cụ thể với các hai đoạn thẳng.

### Kết luận:

1. Hình thang AFMD, BDME, CEMF là hình thang cân.
2. Các góc DME, FME, DMF đều bằng nhau.
3. M nằm tại vị trí trong tam giác để DEF đều sẽ là điểm trung tâm, và chu vi của DEF sẽ tỷ lệ theo chiều cao h của tam giác ABC.

Mọi câu hỏi hay cần giải thích thêm, bạn cứ hỏi nhé!