Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu sau:

### 1. H là trục tâm của tam giác ABC

- Gọi I và K lần lượt là giao điểm của dây AB với tiếp tuyến tại A và tia phân giác góc AOB.
- Theo tính chất của tiếp tuyến: góc AOB là góc nội tiếp còn góc giữa tiếp tuyến (tại A) và dây cung AB cũng có góc bằng (tương ứng). Do đó, C nằm trên tia phân giác của góc AOB.
- Nếu H là giao điểm của AC và OC (vì BI vuông góc với AC), ta thấy rằng H cũng là điểm cân bằng giữa A và B, tức là H chính là trọng tâm của tam giác ABC.

### 2. AH song song với OB

- Từ tính chất của tia phân giác, góc AOB được chia thành hai góc bằng nhau. Vậy, tại điểm A, đoạn AH sẽ tạo thành các góc bằng nhau với OB.
- Suy ra AH song song với OB, vì các đoạn thẳng này nằm trong hai mặt phẳng chứa góc AOB.

### 3. Tứ giác AHBO là hình thoi

- Để chứng minh AHBO là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng các cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.
- Từ giả thiết và tính chất hình học, ta có AH = OB (do tính chất song song) và AB = AH = OB (vì AH và OB đều cắt nhau tại các điểm tương ứng và AB là dây cung).
- Do đó, AH = OB và AB = AO (cùng độ dài từ tâm O đến đỉnh A và B của một đường tròn).

Cuối cùng, do các cặp cạnh đối diện đều bằng nhau, AHBO là hình thoi.

### Kết luận

Các yêu cầu trên đều đã được chứng minh. H và các đoạn thẳng có liên quan đều thỏa mãn điều kiện để khẳng định rằng H là trục tâm của tam giác ABC, AH song song với OB, và tứ giác AHBO là hình thoi.