Chứng minh rằng 3^100 + 5^100 + 14 chia hết cho 15 và 16

Để chứng minh rằng \( 3^{100} + 5^{100} + 14 \) chia hết cho 15 và 16, chúng ta sẽ thực hiện từng bước cho mỗi modulo.

### Kiểm tra chia hết cho 15

Ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 15 bằng cách kiểm tra với 3 và 5.

**Bước 1: Kiểm tra với 3**
- Tính \( 3^{100} \mod 3 \):
\[
3^{100} \equiv 0 \mod 3
\]
- Tính \( 5^{100} \mod 3 \):
\[
5 \equiv 2 \mod 3 \implies 5^{100} \equiv 2^{100} \mod 3
\]
Sử dụng quy tắc modulo, ta thấy \( 2 \equiv -1 \mod 3 \):
\[
2^{100} \equiv (-1)^{100} \equiv 1 \mod 3
\]
- Tính \( 14 \mod 3 \):
\[
14 \equiv 2 \mod 3
\]
- Tính tổng modulo 3:
\[
3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 0 + 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3
\]

**Bước 2: Kiểm tra với 5**
- Tính \( 3^{100} \mod 5 \):
Sử dụng định lý Fermat, vì \( 3^4 \equiv 1 \mod 5 \):
\[
100 \mod 4 = 0 \implies 3^{100} \equiv 1 \mod 5
\]
- Tính \( 5^{100} \mod 5 \):
\[
5^{100} \equiv 0 \mod 5
\]
- Tính \( 14 \mod 5 \):
\[
14 \equiv 4 \mod 5
\]
- Tính tổng modulo 5:
\[
3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 1 + 0 + 4 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]

### Kết luận cho chia hết cho 15:
Từ trên ta đã chứng minh rằng \( 3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 0 \mod 3 \) và \( 3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 0 \mod 5 \), do đó theo định lý đồng dư, ta có:
\[
3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 0 \mod 15
\]

### Kiểm tra chia hết cho 16

**Bước 3: Kiểm tra với 16**
- Tính \( 3^{100} \mod 16 \):
Sử dụng chu kỳ:
\[
3^1 \equiv 3, \quad 3^2 \equiv 9, \quad 3^3 \equiv 11, \quad 3^4 \equiv 1 \mod 16
\]
Thấy rằng \( 3^4 \equiv 1 \), do đó \( 3^{100} \equiv (3^4)^{25} \cdot 3^0 \equiv 1^{25} \equiv 1 \mod 16 \).
- Tính \( 5^{100} \mod 16 \):
Sử dụng chu kỳ:
\[
5^1 \equiv 5, \quad 5^2 \equiv 9, \quad 5^3 \equiv 13, \quad 5^4 \equiv 1 \mod 16
\]
Tương tự, \( 5^{100} \equiv (5^4)^{25} \cdot 5^0 \equiv 1^{25} \equiv 1 \mod 16 \).
- Tính \( 14 \mod 16 \):
\[
14 \equiv 14 \mod 16
\]
- Tính tổng modulo 16:
\[
3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 1 + 1 + 14 \equiv 16 \equiv 0 \mod 16
\]

### Kết luận cho chia hết cho 16:
Ta thấy rằng \( 3^{100} + 5^{100} + 14 \equiv 0 \mod 16 \).

Cuối cùng, kết luận là:
\[
3^{100} + 5^{100} + 14 \text{ chia hết cho 15 và 16.}
\]