Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập hệ phương trình mô tả số sản phẩm của hai tổ trong tháng đầu tiên và tháng thứ hai.

1. **Kí hiệu**:
- Gọi số sản phẩm của tổ 1 trong tháng thứ nhất là \( x \).
- Gọi số sản phẩm của tổ 2 trong tháng thứ nhất là \( y \).

2. **Thông tin từ bài toán**:
- Tổng số sản phẩm của hai tổ trong tháng thứ nhất là:
\[
x + y = 500 \quad (1)
\]
- Trong tháng thứ hai, tổ 1 làm vượt mức 10%, tức là sản xuất được \( 1.1x \).
- Tổ 2 làm vượt mức 15%, tức là sản xuất được \( 1.15y \).
- Tổng số sản phẩm trong tháng thứ hai là:
\[
1.1x + 1.15y = 564 \quad (2)
\]

3. **Giải hệ phương trình**:

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 500 - x
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
1.1x + 1.15(500 - x) = 564
\]

Giải phương trình này:
\[
1.1x + 575 - 1.15x = 564
\]
\[
575 - 564 = 1.15x - 1.1x
\]
\[
11 = 0.05x
\]
\[
x = \frac{11}{0.05} = 220
\]

Bây giờ, thay giá trị của \( x \) vào phương trình (1) để tìm \( y \):
\[
y = 500 - 220 = 280
\]

4. **Kết quả**:
- Số sản phẩm của tổ 1 trong tháng thứ nhất là **220 sản phẩm**.
- Số sản phẩm của tổ 2 trong tháng thứ nhất là **280 sản phẩm**.

Tóm lại câu trả lời là:
- Tổ 1 sản xuất 220 sản phẩm.
- Tổ 2 sản xuất 280 sản phẩm.