Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC

Để chứng minh các phần a), b), c) của bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất và định lý của hình học phẳng trong tam giác vuông.

### Giả thiết:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( MH \) vuông góc với \( AB \).
- \( MK \) vuông góc với \( AC \).

### a) Chứng minh \( MH = MK \)

1. **Xét tam giác vuông** \( AMH \) và \( AMK \):
- Ta có \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác.
- \( MH \) là chiều cao của tam giác \( AMB \) từ \( M \) hạ xuống cạnh \( AB \).
- \( MK \) là chiều cao của tam giác \( AMC \) từ \( M \) hạ xuống cạnh \( AC \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên điểm \( M \) chia đoạn \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.

2. **Sử dụng định lý sin** trong tam giác vuông:
- Vì \( \triangle AMH \) và \( \triangle AMK \) là hai tam giác vuông tại \( H \) và \( K \), nên có:
\[
\frac{MH}{AM} = \sin(\angle AHB) \quad \text{và} \quad \frac{MK}{AM} = \sin(\angle AKC)
\]

Từ đó suy ra \( MH = MK \) nếu \( \angle AHB = \angle AKC \). Trong tam giác vuông vuông \( ABC \), các góc sẽ có sự tương ứng, vì vậy \( MH = MK \).

### b) Chứng minh \( AM \) là đường trung trực của \( HK \)

1. **Xét hai đoạn thẳng** \( HK \):
- Tango \( H \) và \( K \) là các điểm thuộc các cạnh chéo của tam giác vuông \( AMB \) và \( AMC \), cho thấy \( HK \) luôn nằm trên đường thẳng đi qua \( M \).
- \( AM \) được định nghĩa là đường trung trực của đoạn thẳng \( HK \) nếu \( AH = AK \).

2. **Vì** \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có đoạn \( AM \) chia \( HK \) thành hai phần bằng nhau.
- Cụ thể, \( AM \) vuông góc với \( HK \) ở điểm \( M \) (vì \( M \) là trung điểm) dễ dàng chứng minh rằng \( AM \) là đường trung trực của \( HK \).

### c) Chứng minh \( HK \parallel BC \)

1. **Sử dụng tính chất vuông góc:**
- Khi \( MH \) vuông góc với \( AB \) và \( MK \) vuông góc với \( AC \), điều này cho thấy rằng \( HK \) là đường chéo của hình chữ nhật với các cạnh \( AB \) và \( AC \).

2. **Từ tính chất song song:**
- Bởi vì \( AB \) và \( AC \) vuông góc với nhau, và cả hai đoạn thẳng \( MH \) và \( MK \) đều bình phương góc tại \( M \), dẫn đến \( HK \) sẽ song song với \( BC \).
- Do đó, \( HK \parallel BC \) khi điểm chung là diện tích đường trung bình của tam giác.

### Kết luận:
Từ các lý thuyết hình học về tam giác vuông và các tính chất của các đoạn thẳng, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán:
a) \( MH = MK \)
b) \( AM \) là đường trung trực của \( HK \)
c) \( HK \parallel BC \)