Để giải bài tập này, chúng ta sẽ làm từng bước một:

### a) Chứng minh \( MN \perp AC \)

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( A(0, 0) \)
- Điểm \( D(0, h) \)
- Điểm \( B(a, 0) \)
- Điểm \( C(a, h) \)

2. **Tìm toạ độ M và N**:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \):
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( CD \):
\[
N\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{h + h}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, h\right)
\]

3. **Tính độ dốc của \( MN \) và \( AC \)**:
- Độ dốc của \( MN \):
\[
m_{MN} = \frac{h - 0}{\frac{a}{2} - \frac{a}{2}} = \frac{h}{0} \text{ (đứng)}
\]
- Độ dốc của \( AC \):
\[
m_{AC} = \frac{h - 0}{a - 0} = \frac{h}{a}
\]

4. **Kết luận**:
- Vì \( MN \) đứng (độ dốc vô cùng) và \( AC \) có độ dốc khác 0, nên
\[
MN \perp AC.
\]

### b) Tứ giác \( AMCN \) là hình gì?

1. **Tính các cạnh**:
- \( AM \) là đoạn thẳng từ \( A \) đến \( M \).
- \( CN \) là đoạn thẳng từ \( C \) đến \( N \).

2. **Xét đặc điểm**:
- \( MN \) được chứng minh là vuông góc với \( AC \).
- Hai đoạn \( AM \) và \( CN \) cùng nằm trên các đoạn thẳng vuông góc với \( AC \).

3. **Kết luận**:
- Tứ giác \( AMCN \) là hình chữ nhật vì các cạnh đối diện bằng nhau và có các góc vuông.

Tóm lại:
- \( MN \perp AC \)
- Tứ giác \( AMCN \) là hình chữ nhật.