Tìm giá trị nhỏ nhất của

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hai biểu thức \( K \) và \( N \), ta sẽ phân tích từng trường hợp:

1. **Biểu thức \( K = 4x^2 + 3x + 2 \)**:

Đây là một hàm bậc 2 với hệ số \( a = 4 > 0 \), do đó phương trình có hình parabola mở lên. Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc 2 xảy ra tại đỉnh của nó, được tính bằng công thức sau:

\[
x_m = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \times 4} = -\frac{3}{8}
\]

Substituting \( x_m \) vào \( K \):

\[
K\left(-\frac{3}{8}\right) = 4\left(-\frac{3}{8}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{8}\right) + 2
\]

\[
= 4 \times \frac{9}{64} - \frac{9}{8} + 2
\]

\[
= \frac{36}{64} - \frac{72}{64} + \frac{128}{64} = \frac{36 - 72 + 128}{64} = \frac{92}{64} = \frac{23}{16}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( K \) là \( \frac{23}{16} \).

2. **Biểu thức \( N = (x - 3)^2 + (x - 2)^2 \)**:

Mở rộng biểu thức:

\[
N = (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 10x + 13
\]

Đây cũng là hàm bậc 2 với hệ số \( a = 2 > 0 \), có đỉnh tại:

\[
x_m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \times 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
\]

Substituting \( x_m \) vào \( N \):

\[
N\left(\frac{5}{2}\right) = 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 10\left(\frac{5}{2}\right) + 13
\]

\[
= 2 \times \frac{25}{4} - 25 + 13 = \frac{50}{4} - 25 + 13
\]

\[
= \frac{50 - 100 + 52}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( N \) là \( \frac{1}{2} \).

### Kết luận:

- Giá trị nhỏ nhất của \( K = \frac{23}{16} \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( N = \frac{1}{2} \).