Để tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông ABC, ta sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và định lý Pythagore.

### Trường hợp a: \(AB = 6 \text{ cm}\), \(AC = 9 \text{ cm}\)

1. Tính độ dài \(BC\):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} \approx 10.82 \text{ cm}
\]

2. Tính độ dài \(AH\) (đường cao) sử dụng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 9}{\sqrt{117}} \approx \frac{54}{10.82} \approx 4.99 \text{ cm}
\]

3. Tính độ dài \(HB\) và \(HC\):
\[
HB = \frac{AC^2}{BC} = \frac{9^2}{\sqrt{117}} = \frac{81}{10.82} \approx 7.48 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AB^2}{BC} = \frac{6^2}{\sqrt{117}} = \frac{36}{10.82} \approx 3.33 \text{ cm}
\]

### Trường hợp b: \(AB = 15 \text{ cm}\), \(HB = 9 \text{ cm}\)

1. Tính độ dài \(AC\):
\[
AC = \frac{AB \cdot HB}{AH} \implies \text{ (cần tìm AH trước)}
\]

2. Tính \(AH\) sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}
\]
Ta chưa biết được \(BC\) mà cần có thêm thông tin.

Như vậy, với các ký hiệu và công thức trên, ta có thể tính toán được độ dài của các đoạn thẳng trên cho từng trường hợp. Cần có thêm thông tin hoặc các đoạn thẳng khác trong trường hợp b để có thể hoàn thành tính toán.