Để phân tích các biểu thức trên thành nhân tử, chúng ta sẽ làm việc từng bước cho mỗi trường hợp:

### a) \( a( b + c )^2 ( b - c ) + b( c + a )^2 ( c - a ) + c( a + b )^2 ( a - b ) \)

Biểu thức này có thể được khai thác bằng cách xác định các yếu tố chung. Chúng ta có thể xem từng phần và nhận ra rằng mỗi phần đều có phần bậc hai từ một cặp hạng tử cùng nhau. Để làm cho nó đơn giản hơn, chúng ta sẽ xem xét cấu trúc của nó.

Chúng ta có:

- \( a( b + c)^2(b - c) \)
- \( b( c + a)^2(c - a) \)
- \( c( a + b)^2(a - b) \)

Rõ ràng rằng mỗi hạng tử có một phần chung là \( (b - c), (c - a), (a - b) \). Các biến này có thể được sắp xếp theo cách mà chúng ta có thể thu gọn các thành phần. Ta có thể rút gọn biểu thức này nếu thêm tất cả vào nhau và sắp xếp lại. Một cách riêng biệt hơn là sử dụng các công thức bậc ba để giải quyết vấn đề này, nhưng ở đây ta không có một phương pháp cụ thể đã rõ ràng có thể cho ra một định lý vì thiếu các biến số đi kèm.

### b) \( a( b - c )^3 + b( c - a )^3 + c( a - b )^3 \)

Biểu thức này có thể sử dụng một định lý rằng nếu \( x + y + z = 0 \), thì:

\[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \]

Chúng ta có thể đặt \( x = a \), \( y = b - c \), \( z = c - a \). Khi chúng ta thay thế, chúng ta nhận thấy rằng \( x + y + z = 0 \). Do vậy:

\[
a( b - c )^3 + b( c - a )^3 + c( a - b )^3 = (b-c)(c-a)(a-b)(a + b + c)
\]

### c) \( a^2b^2(a - b) + b^2c^2(b - c) + c^2a^2(c - a) \)

Biểu thức này cũng có thể phân tích theo cách tương tự như phần b:

Chúng ta có:

- \( a^2b^2(a - b) \)
- \( b^2c^2(b - c) \)
- \( c^2a^2(c - a) \)

Tương tự, chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi thành phần này chứa \( (a-b), (b-c), (c-a) \). Sắp xếp chúng thành một biểu thức đã cho ra một dạng một thể chung. Biểu thức này có thể được rút gọn lại và sắp phép theo công thức tương ứng cho dạng chứa \( (a-b)(b-c)(c-a) \):

\[
= (a-b)(b-c)(c-a)(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Tóm lại, để phân tích các biểu thức thành nhân tử, trước tiên cần xác định các phần chung và sử dụng các công thức hoặc định lý phù hợp. Chúc bạn làm tốt trong việc giải các bài toán này!