Để giải bài toán về tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( C = 30^\circ \) và các tính chất của điểm \( D \), ta thực hiện như sau:

### a. So sánh \( AB \) và \( AC \), \( AH \) và \( CH \)

1. **Tam giác vuông tại \( A \):**
- \( \angle CAB = 30^\circ \)
- Do đó, \( AB > AC \) vì cạnh đối diện (cạnh \( AB \)) lớn hơn cạnh kề (cạnh \( AC \)) trong tam giác vuông.

2. **Về các đoạn thẳng \( AH \) và \( CH \):**
- \( AH \) là cạnh vuông góc từ \( A \) tới \( BC \).
- \( \angle AHC = 90^\circ \) và \( C \) là góc 30°, nên \( \angle AHC = 90° - 30° = 60° \).
- Theo định lý Sin:
\[
\frac{AH}{AC} = \sin(30^\circ) \Rightarrow AH = AC \cdot \frac{1}{2}
\]
- Do đó, \( AH < CH \) vì \( CH = AC \).

### b. Chứng minh tam giác \( AHC \) bằng tam giác \( CHD \)

1. **Xét các tam giác:**
- Tam giác \( AHC \) có:
- \( \angle AHC = 90^\circ \)
- \( AH = HA \) (bởi vì \( D \) được lấy sao cho \( HD = HA \))
- \( AC \) là chung.

2. **Tam giác \( CHD \) có:**
- \( HD = HA \)
- \( \angle CHD = \angle AHC = 90^\circ \) (cùng một góc vuông).

3. **Do đó ta có:**
- \( AHC \cong CHD \) theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

### c. Tính số đo \( CDB \)

1. **Tại điểm \( D \):**
- Xét \( \angle CDB \):
- \( \angle CDB = 180° - \angle CHD - \angle AHD \) (hợp bởi ba điểm \( C, D, B \)).
- Ta sẽ xét độ lớn của các góc và tính toán cụ thể hơn nếu có hình vẽ để tính chính xác.

2. **Sau khi tính toán các góc, ta kết luận:**
- Tùy thuộc vào số đo các góc còn lại trong tam giác sẽ cho ra số đo cụ thể của \( \angle CDB \).

Kết hợp các kiến thức từ hình học để hoàn thiện các tính toán ở trên.