Trong tam giác nhọn ABC, với các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, chúng ta có thể tìm tỉ số khoảng cách từ H đến hai đường thẳng EM và DN.

Đó là, EM là hình chiếu của điểm E lên đường thẳng BC và DN là hình chiếu của điểm D lên đường thẳng BC. Để tính tỉ số khoảng cách \( \frac{EM}{DN} \), chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học.

Ta biết rằng, vì EM và DN đều là hình chiếu từ các đỉnh của tam giác lên cạnh BC, nên độ dài của mỗi đoạn thẳng sẽ tỉ lệ với độ dài của các cạnh tam giác.

Cụ thể, tỉ số \( \frac{EM}{DN} \) sẽ tỉ lệ với tỉ số giữa các cạnh tương ứng của tam giác. Áp dụng hằng đẳng thức trong tam giác nhọn, chúng ta có:
\[
\frac{EM}{DN} = \frac{c \cdot (sin A)}{a \cdot (sin B)}
\]
trong đó \( c \) là độ dài cạnh BC và \( a \) là độ dài cạnh AC; hệ số \( sin A \) và \( sin B \) là các hàm lượng giác tương ứng của các góc ở đỉnh A và B của tam giác.

Kết luận, tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN có thể được tính bằng biểu thức trên, và nếu không có các giá trị cụ thể về độ dài cạnh tam giác cũng như các góc, ta không thể tính chính xác giá trị của \( \frac{EM}{DN} \). Tuy nhiên, phương pháp đã được nêu rõ để các bạn có thể áp dụng trong trường hợp cụ thể.