Để giải bài toán này, ta cần tìm x sao cho (x + 3) chia hết cho x và x(x + 3) chia hết cho x.

1. Điều kiện đầu tiên là (x + 3) chia hết cho x, tức là:
\[
x + 3 \equiv 0 \mod x
\]
Điều này có thể được hiểu là x + 3 = kx (với k là số nguyên). Thay đổi lại, ta có:
\[
3 = kx - x \rightarrow 3 = (k - 1)x
\]
Từ đó, ta có:
\[
x = \frac{3}{k - 1}
\]
Điều kiện này chỉ hợp lệ khi k khác 1 (vì nếu k = 1, x sẽ không xác định).

2. Điều kiện thứ hai là x(x + 3) chia hết cho x, tức là:
\[
x(x + 3) \equiv 0 \mod x
\]
Điều này luôn đúng với mọi x khác 0, vì x(x + 3) = x^2 + 3x, và nó có chứa x, do đó chia hết cho x.

Tóm lại, điều kiện quan trọng trong bài toán này là x phải khác không và x phải thỏa mãn phương trình:
\[
x = \frac{3}{k - 1} \quad (k \neq 1)
\]

Ta có thể thử với các giá trị của k (k là số nguyên) khác nhau:

- Nếu k = 2, thì \( x = \frac{3}{2 - 1} = 3 \).
- Nếu k = 3, thì \( x = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2} \).
- Nếu k = 0, thì \( x = \frac{3}{0 - 1} = -3 \).
- Nếu k < 0, ta cũng sẽ có các giá trị x âm.

Vậy nên, ta có thể kết luận rằng các giá trị của x mà (x + 3) chia hết cho x có thể là:
- x = 3
- x = 1.5
- x = -3
- Và còn nhiều giá trị khác phụ thuộc vào k.

Mỗi giá trị x đều thực hiện kiểm tra để thỏa mãn điều kiện ban đầu.