Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng yêu cầu một:

**a. Tính tổng \( A(x) = P(x) + Q(x) \)**

Cho các đa thức:

\[
P(x) = 2x^2 + 1 + x^4 - 5x
\]
\[
Q(x) = x^4 + 5 - 3x^2 + x^2 + 5x
\]

Trước tiên, chúng ta đơn giản hóa từng đa thức:

1. **Đối với \( P(x) \)**:
\[
P(x) = x^4 + 2x^2 - 5x + 1
\]

2. **Đối với \( Q(x) \)**:
\[
Q(x) = x^4 + (5 - 3x^2 + x^2) + 5x = x^4 - 2x^2 + 5 + 5x
\]

Bây giờ, cộng hai đa thức lại:

\[
A(x) = P(x) + Q(x)
\]
\[
= (x^4 + 2x^2 - 5x + 1) + (x^4 - 2x^2 + 5 + 5x)
\]
\[
= 2x^4 + (2x^2 - 2x^2) + (-5x + 5x) + (1 + 5)
\]
\[
= 2x^4 + 6
\]

Vậy tổng \( A(x) = 2x^4 + 6 \).

---

**b. Chứng minh rằng \( A(x) \) không có nghiệm.**

Để chứng minh rằng đa thức \( A(x) = 2x^4 + 6 \) không có nghiệm, ta xét dấu của \( A(x) \):

1. **Chú ý rằng \( 2x^4 \) luôn không âm (>= 0) với mọi \( x \) và đạt giá trị bằng 0 chỉ khi \( x = 0 \)**.
2. **Hệ số số hạng hằng là 6, là số dương**.

Do đó, \( A(x) = 2x^4 + 6 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

Kết luận: \( A(x) \) không có nghiệm thực, vì không tồn tại giá trị nào của \( x \) làm cho \( A(x) = 0 \).