Để tính độ dài của BC và AH trong tam giác vuông ABC với AH là đường hạ từ A xuống BC:

1. **Xác định độ dài BC:**
- Tam giác ABC là tam giác vuông tại H, với AB = 15 và AC = 20.
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
\[
20^2 = 15^2 + BC^2
\]
\[
400 = 225 + BC^2
\]
\[
BC^2 = 400 - 225 = 175
\]
\[
BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}
\]

2. **Xác định độ dài AH:**
- Diện tích của tam giác ABC cũng có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150
\]
- Diện tích cũng có thể tính bằng AH và BC:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
- Thay BC vào công thức:
\[
150 = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{7} \times AH
\]
\[
300 = 5\sqrt{7} \times AH
\]
\[
AH = \frac{300}{5\sqrt{7}} = \frac{60}{\sqrt{7}} = \frac{60\sqrt{7}}{7}
\]

**Kết quả:**
- \( BC = 5\sqrt{7} \)
- \( AH = \frac{60\sqrt{7}}{7} \)