Để chứng minh rằng tam giác \( \triangle MNP \) đồng dạng với tam giác \( \triangle ABC \) và tính tỉ số đồng dạng, bạn có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm:**
- \( O \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \).
- \( M, N, P \) lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh \( BC, CA, AB \) sao cho \( OM = \frac{1}{3} O A \), \( ON = \frac{1}{3} O B \), và \( OP = \frac{1}{3} O C \).

2. **Liên hệ các độ dài:**
- Dễ dàng nhận thấy rằng \( OM : OA = ON : OB = OP : OC = \frac{1}{3} \).
- Từ đó, suy ra rằng \( AM : AB = \frac{1}{3} \), \( BN : BC = \frac{1}{3} \), và \( CP : CA = \frac{1}{3} \).

3. **Áp dụng định lý Thales:**
- Từ các tỉ số trên, ta có thể nói rằng các đoạn thẳng nối từ trọng tâm đến các đỉnh của tam giác \( ABC \) chia các cạnh của tam giác thành các đoạn tỉ lệ.

4. **Kết luận:**
- Do đó, tam giác \( \triangle MNP \) đồng dạng với tam giác \( \triangle ABC \) với tỉ số đồng dạng là \( k = \frac{1}{3} \).

Như vậy, ta đã chứng minh được sự đồng dạng và tính toán được tỉ số đồng dạng của hai tam giác.