Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định**: Biểu thức này xác định cho tất cả \( x \) thuộc tập hợp số thực \( \mathbb{R} \) vì mẫu số \( x^2 + 2 \) không bao giờ bằng 0 (luôn dương).

2. **Tính đạo hàm**: Ta tính đạo hàm của \( A \) để tìm các điểm cực trị.
\[
A' = \frac{(x^2 + 2) \cdot (2x + 2) - (x^2 + 2x + 3) \cdot (2x)}{(x^2 + 2)^2}
\]
Giải phương trình \( A' = 0 \) để tìm x.

3. **Xét dấu của đạo hàm**: Từ các giá trị của \( x \) tìm được, ta sẽ xác định được GTLN và GTNN của \( A \).

4. **Kiểm tra biên**: Không quên kiểm tra các giá trị của \( A \) khi \( x \) tiến ra vô cùng để xem hoàn tất giá trị cực trị.

5. **So sánh các giá trị tìm được**: Cuối cùng, so sánh các giá trị cực trị và giá trị chặn để xác định GTLN và GTNN.

Qua các bước này, bạn sẽ tìm ra GTLN và GTNN của biểu thức \( A \). Nếu cần thêm chi tiết hoặc hướng dẫn cụ thể về các bước tính toán, hãy cho tôi biết!