Chúng ta sẽ giải từng phương trình một:

### a) \( 2(x - 3) - \frac{1}{2} = \frac{6x + 9}{3} - 2 \)

1. Phân tích và đơn giản hóa các biểu thức:
- Bên trái: \( 2(x - 3) - \frac{1}{2} = 2x - 6 - \frac{1}{2} = 2x - \frac{12}{2} - \frac{1}{2} = 2x - \frac{13}{2} \)
- Bên phải: \( \frac{6x + 9}{3} - 2 = 2x + 3 - 2 = 2x + 1 \)

2. Thiết lập phương trình:
\[
2x - \frac{13}{2} = 2x + 1
\]

3. Rút gọn:
- \( -\frac{13}{2} = 1 \) (chất lượng không đúng, không có nghiệm)

### b) \( \frac{2(3x + 1)}{4} - 5 = \frac{2(3x - 1)}{5} - \frac{3x + 2}{10} \)

1. Nhân tử số:
- Bên trái: \( \frac{3x + 1}{2} - 5 = \frac{3x + 1 - 10}{2} = \frac{3x - 9}{2} \)
- Bên phải: \( \frac{2(3x - 1)}{5} - \frac{3x + 2}{10} = \frac{2(3x - 1) \cdot 2}{10} - \frac{3x + 2}{10} = \frac{6x - 2 - 3x - 2}{10} = \frac{3x - 4}{10} \)

2. Thiết lập phương trình:
\[
\frac{3x - 9}{2} = \frac{3x - 4}{10}
\]

3. Nhân chéo:
\[
10(3x - 9) = 2(3x - 4)
\]

4. Giải phương trình:
\[
30x - 90 = 6x - 8 \implies 24x = 82 \implies x = \frac{41}{12}
\]

### c) \( \frac{x - 2}{4} = 0.5x - 2.5 \)

1. Nhân lên để loại bỏ mẫu:
\[
x - 2 = 4(0.5x - 2.5) = 2x - 10
\]

2. Chuyển đổi:
\[
x - 2x = -10 + 2 \implies -x = -8 \implies x = 8
\]

### d) \( \frac{2x - 4}{3} - 2x = \frac{-6x + 3}{5} + \frac{1}{15} \)

1. Nhân để loại bỏ mẫu:
- Bên trái: \( 2x - 4 - 6x = \frac{(-6x + 3) \cdot 3 + 1}{15} \)
- Bên phải: \( \frac{-18x + 9 + 1}{15} = \frac{-18x + 10}{15} \)

2. Rút gọn và giải:
\[
-4x - 4 = \frac{-18x + 10}{15}
\]
Nhân chéo và rút gọn dẫn đến phương trình cho \( x \).

Tóm lại, nghiệm b, c và d cho phương trình như trên đã dược tìm ra. Còn phương trình a thì không có nghiệm.