Để phân tích biểu thức \( ax^2 + bx^2 + 2axy + 2xy + ay^2 + by^2 \), trước hết chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại để xem liệu có thể tìm được các yếu tố chung.

1. **Nhóm các hạng tử**:
- Nhóm các hạng tử của \( x^2 \): \( ax^2 + bx^2 = (a + b)x^2 \)
- Nhóm các hạng tử của \( y \): \( ay^2 + by^2 = (a + b)y^2 \)
- Nhóm các hạng tử còn lại: \( 2axy + 2xy = 2xy(a + 1) \)

2. **Viết lại biểu thức**:
\( ax^2 + bx^2 + 2axy + 2xy + ay^2 + by^2 \) có thể được viết lại như sau:
\[
(a+b)x^2 + ay^2 + by^2 + 2xy(a + 1)
\]
Thấy rằng \( ay^2 + by^2 = (a + b)y^2 \).

3. **Kết hợp lại**:
Biểu thức hiện tại:
\[
(a + b)x^2 + (a + b)y^2 + 2xy(a + 1)
\]
Nhận thấy các yếu tố \( (a + b) \) có thể được cô lập.

4. **Kết hợp thành nhân tử**:
Nhóm lại sẽ thu được:
\[
(a + b)(x^2 + y^2) + 2xy(a + 1)
\]

5. **Giả sử biểu thức có thể phân tích thêm**: Ta sẽ thử tìm 2 số mà tổng và tích của chúng bằng với các hệ số trong biểu thức, hoặc thử phân tích thành một hình bình phương:
Rõ ràng là biểu thức có dạng:
\[
(ax + by)^2 + 2xy(a + 1)
\]

6. **Phân tích tiếp**:
Xem biểu thức:
\[
(ax + by)^2 + 2xy(a + 1) = (ax + by + cxy)(ax + by - cxy)
\]
Tương ứng với \( c = \sqrt{2(a+1)} \).

Cuối cùng, biểu thức \( ax^2 + bx^2 + 2axy + 2xy + ay^2 + by^2 \) có thể viết lại dưới dạng:
\[
(ax + by + \sqrt{2(a + 1)}xy)(ax + by - \sqrt{2(a + 1)}xy)
\]

Đó là kết quả của phép phân tích thành nhân tử của biểu thức đã cho.