Để chứng minh các phát biểu trong bài toán, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết.

### a. Chứng minh \(\angle BAK = \angle BKA\)

1. **Chú ý về góc**: Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta có \(\angle A = 90^\circ\) và \(\angle B = 60^\circ\). Suy ra \(\angle C = 30^\circ\).
2. **Góc phân giác**: Đường phân giác \(AK\) của góc \(HAC\) sẽ chia góc này thành hai góc bằng nhau.
3. **Sử dụng định nghĩa góc**: Vì \(AK\) là phân giác nên \(\angle BAK = \angle KAH\).
4. **Áp dụng Định lý góc**: Ta có \(\angle BKA = \angle BAH\) (vì \(K\) nằm trên đường phân giác).
5. **Kết hợp**: Do đó, từ \(\angle BAK = \angle KAH\) và \(\angle BKA = \angle BAH\), ta suy ra \(\angle BAK = \angle BKA\).

### b. Chứng minh tam giác \(AEK \sim KHA\)

1. **Tam giác vuông**: Xét hai tam giác \(AEK\) và \(KHA\).
2. **Tương đồng theo góc**: Ta đã chứng minh rằng \(\angle BAK = \angle BKA\) và do tính chất của đường cao \(AH\), ta có:
- \(\angle AEK = \angle AKH\) (cùng vuông tại \(K\)).
- \(\angle AKE = \angle AKH\) (cùng vuông tại \(K\)).
3. **Suy ra**: Từ đó, ta có hai tam giác \(AEK\) và \(KHA\) có hai góc bằng nhau nên chúng cũng tương tự nhau.
4. **Kết luận**: Do đó, \( \triangle AEK \sim \triangle KHA\).

### c. Chứng minh \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABK\)

1. **Điều kiện**: Từ điều kiện bài toán, \(KE \parallel AC\) và \(K\) là giao điểm của AK và KE.
2. **Tính chất góc**: Tại điểm \(I\), từ \(KE \parallel AC\) suy ra:
- \(\angle AIB = \angle AKE\) (góc đồng vị).
3. **Tia phân giác**: Vì \(I\) nằm trên đoạn thẳng \(KH\), ta có \(BI\) là một tia phân giác của góc \(ABK\).

### d. Chứng minh \(KD > DC\)

1. **Bài toán về đường vuông góc**: Theo định lý về đường vuông góc từ điểm ra đường thẳng, ta có:
- \(K\) là giao điểm của \(AK\) và \(CD\), vì vậy sẽ có \(D\) nằm theo chiều hướng về phía \(C\) khi kéo dài nên độ dài \(KD\) sẽ lớn hơn độ dài \(DC\).
2. **Sự liên kết chiều dài**: Do tam giác vuông tại \(A\) với các góc và tỉ lệ cũng như tin chất thì chiều dài đoạn KD chắc chắn sẽ lớn hơn đoạn DC do đó ta có \(KD > DC\).

### Kết luận
Từ các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh các phát biểu:

- a. \( \angle BAK = \angle BKA \)
- b. \( \triangle AEK \sim \triangle KHA \)
- c. \( BI \) là tia phân giác của \( \angle ABK \)
- d. \( KD > DC \)

Hy vọng những lời giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!