Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại điểm \(B\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Điểm \(E\) nằm trên tia đối của tia \(MA\) sao cho \(ME = MA\). Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh ba phần được yêu cầu.

### a) Chứng minh \(\triangle AMB \cong \triangle EMC\)

Hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle EMC\) có các cạnh sau:
- \(AM = ME\) (theo điều kiện của bài toán)
- \(AB = BC\) (cạnh huyền AC vuông tại B)
- Góc \(AMB = \angle EMC = 90^\circ\) (có 2 góc vuông tại B và E)

Từ đó suy ra \(\triangle AMB \cong \triangle EMC\) theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CCG).

### b) Chứng minh \(AC = CE\)

Từ sự đồng dạng của hai tam giác này, ta có:
\[ CE = AM = 20 \, dm \]
Do đó, ta có:
\[ AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 20 = 40 \, dm \]

### c) Chứng minh \(\angle BAM = \angle MEC\)

Do hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle EMC\) đồng dạng, góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Từ đó, ta suy ra \(\angle BAM = \angle MEC\).

### d) Tính \(AB\)

Biết rằng \(BC = 24 \, dm\). Ta có thể dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\):
- \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

Với \(AC = 40 \, dm\):
\[
40^2 = AB^2 + 24^2
\]
\[
1600 = AB^2 + 576
\]
\[
AB^2 = 1600 - 576 = 1024
\]
\[
AB = \sqrt{1024} = 32 \, dm
\]

### Kết luận:

\(AB = 32 \, dm\).