Để chứng minh rằng \( EA = EB \) và \( EC = ED \) trong hình thang cân \( ABCD \) (với \( AB \parallel CD \)), ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của hình thang.

### Chứng minh:
1. **Đặt các điểm:** Ta có hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( E \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

2. **Tính chất đối xứng:**
- Hình thang cân có tính chất đối xứng qua đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \).
- Điều này có nghĩa là nếu ta phản chiếu điểm \( A \) qua đường trung trực của \( AB \), ta sẽ nhận được điểm \( B \), và tương tự như vậy cho các điểm \( C \) và \( D \).

3. **Xét tam giác:**
- Xét tam giác \( ABE \) và \( CDE \):
- Ta có \( AE \) và \( BE \) là các đoạn thẳng nối từ các đỉnh của tam giác đến giao điểm \( E \).
- Từ tính chất đối xứng, ta biết rằng \( AB = CD \) và \( AE \) và \( BE \) là các đoạn vuông góc với đường trung trực của \( AB \).

4. **Sử dụng tam giác đồng dạng:**
- Vì \( AB \parallel CD \), góc \( AEB = CED \) và góc \( ABE = CDE \) (góc trong cùng phía).
- Suy ra \( \triangle ABE \cong \triangle CDE \) (theo tiêu chí hai cạnh và góc).
- Từ đó, \( EA = EB \) và \( EC = ED \).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng trong hình thang cân \( ABCD \), \( EA = EB \) và \( EC = ED \).