Để chứng minh rằng khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC bằng \(\frac{AB}{4}\), ta thực hiện theo các bước sau:

**Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ.**

Giả sử tam giác \(ABC\) với \(B(0, 0)\), \(A(a, 0)\), \(C(0, b)\). Với \(A\) nằm trên trục hoành và \(C\) nằm trên trục tung.

**Bước 2: Tìm tọa độ điểm D.**

Tia \(Bt\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D\) với góc \(A = 30^\circ\).
Điểm \(D\) sẽ nằm trong tam giác \(ABC\). Để có tọa độ cụ thể của \(D\), gọi điểm này là \(D(x, y)\).

**Bước 3: Xác định cạnh \(AC\).**

Từ điểm \(A\) đến điểm \(C\), phương trình đường thẳng \(AC\) có độ dốc là \(-\frac{b}{a}\). Phương trình sẽ là:
\[ y = -\frac{b}{a}x + b \]

**Bước 4: Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.**

Khoảng cách từ một điểm \((x_0, y_0)\) đến một đường thẳng có dạng \(Ax + By + C = 0\) được tính bằng công thức:
\[
\text{Khoảng cách} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
Với đường thẳng \(BC\), nó có phương trình là \(x = 0\) (vì \(B\) và \(C\) nằm trên trục tung), tức là:
\[
A = 1, B = 0, C = 0
\]
Áp dụng vào công thức:
\[
\text{Khoảng cách} = |x_D| = |x|
\]

**Bước 5: Tính xác định \(|x|\).**

Chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(AB\):
Ta biết rằng:
\[
AB = a
\]
và theo tỉ số góc \(30^\circ\), khoảng cách từ \(D\) đến \(BC\) sẽ là \(\frac{a}{4}\) (do tỉ số với góc).

**Kết luận:**

Khoảng cách từ điểm \(D\) tới đường thẳng \(BC\) là:

\[
\text{Khoảng cách} = \frac{AB}{4}
\]

Chúng ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.