Để thực hiện phép cộng các phân thức \( \frac{4}{y-5} + \frac{2}{2y} + \frac{14}{y-5} + \frac{2}{2y+1} \), ta cần tìm mẫu số chung của các phân thức này.

### Bước 1: Xác định mẫu số chung
Các mẫu số của các phân thức là:
- \( y - 5 \)
- \( 2y \)
- \( y - 5 \) (xuất hiện lần thứ hai)
- \( 2y + 1 \)

Mẫu số chung của các phân thức này sẽ là:
\[ (y - 5)(2y)(2y + 1) \]

### Bước 2: Biến đổi từng phân thức về mẫu số chung
1. **Phân thức đầu tiên**:
\[
\frac{4}{y-5} \cdot \frac{2y(2y+1)}{2y(2y+1)} = \frac{4 \cdot 2y(2y + 1)}{(y-5)(2y)(2y + 1)} = \frac{8y(2y + 1)}{(y-5)(2y)(2y + 1)}
\]

2. **Phân thức thứ hai**:
\[
\frac{2}{2y} \cdot \frac{(y-5)(2y+1)}{(y-5)(2y+1)} = \frac{2 \cdot (y - 5)(2y + 1)}{(y - 5)(2y)(2y + 1)} = \frac{2(y - 5)(2y + 1)}{(y - 5)(2y)(2y + 1)}
\]

3. **Phân thức thứ ba**:
\[
\frac{14}{y-5} \cdot \frac{2y(2y+1)}{2y(2y+1)} = \frac{14 \cdot 2y(2y + 1)}{(y-5)(2y)(2y + 1)} = \frac{28y(2y + 1)}{(y-5)(2y)(2y + 1)}
\]

4. **Phân thức thứ tư**:
\[
\frac{2}{2y+1} \cdot \frac{(y-5)(2y)}{(y-5)(2y)} = \frac{2\cdot (y-5)(2y)}{(y - 5)(2y)(2y + 1)} = \frac{2(y - 5)(2y)}{(y - 5)(2y)(2y + 1)}
\]

### Bước 3: Cộng các phân thức
Bây giờ, ta có thể cộng tất cả các tử số:
\[
\frac{8y(2y + 1) + 2(y - 5)(2y + 1) + 28y(2y + 1) + 2(y - 5)(2y)}{(y-5)(2y)(2y+1)}
\]

### Bước 4: Tính tử số
Tính từng thành phần tử số:
1. Tính \( 8y(2y + 1) \):
\[
16y^2 + 8y
\]

2. Tính \( 2(y - 5)(2y + 1) \):
\[
2(2y^2 + y - 10y - 5) = 4y^2 - 18y - 10
\]

3. Tính \( 28y(2y + 1) \):
\[
56y^2 + 28y
\]

4. Tính \( 2(y - 5)(2y) \):
\[
2(2y^2 - 10y) = 4y^2 - 20y
\]

Cộng tất cả lại:
\[
(16y^2 + 8y) + (4y^2 - 18y - 10) + (56y^2 + 28y) + (4y^2 - 20y) =
(16y^2 + 4y^2 + 56y^2 + 4y^2) + (8y - 18y + 28y - 20y) - 10
\]
\[
= 80y^2 - 2y - 10
\]

### Bước 5: Viết lại phân thức tổng
Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{80y^2 - 2y - 10}{(y-5)(2y)(2y+1)}
\]

Đây là kết quả cuối cùng của phép cộng phân thức đã cho.