Để rút gọn biểu thức:

\[
\frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}
\]

Ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn từng phần:**
- Phần đầu tiên: \(\frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1\)

2. **Phần thứ hai:**
- Để rút gọn \(\frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}\), ta cũng không thể rút gọn thêm, nhưng có thể thay nó vào tổng.

3. **Kết hợp lại:**
- Biểu thức trở thành \( \sqrt{x} + 1 + \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} \)

4. **Tìm mẫu số chung và rút gọn:**
- Nhân mẫu số chung và thực hiện phép cộng.

Cuối cùng, ta sẽ có biểu thức đã rút gọn. Tuy nhiên, nếu cần một phương thức cụ thể hơn để rút gọn hoàn chỉnh, xin hãy cung cấp thêm thông tin hoặc yêu cầu cụ thể để hoàn thiện.