Để làm từng phần yêu cầu từ câu d đến câu f, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức hình học cơ bản trong tam giác cân và các tính chất của góc và đường thẳng.

**Câu d**: Chứng minh EI // AM

- Gọi \( I \) là điểm trên cạnh \( BC \) và \( EI \) được kẻ vuông góc với \( BC \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \), theo định lý góc phân giác trong tam giác, ta có \( \angle BAM = \angle CAM \).
- Do \( EI \perp BC \) và \( AM \) là tia phân giác, chúng ta có \( \angle AEM = \angle AEM \) và \( \angle MEI = 90^\circ \).
- Từ đó, các góc \( \angle AME = \angle IME = 90^\circ \) cho thấy rằng \( AM \) và \( EI \) tạo một cặp góc bổ sung, cho nên \( EI \) và \( AM \) song song với nhau.

***Tóm lại: EI // AM.***

**Câu e**: Gọi \( K \) là giao điểm của đường \( EI \) và \( AC \). Chứng minh góc \( AEK = \angle AKE \).

- Ta biết rằng \( EI \) vuông góc với \( BC \) và \( AM \) song song với \( EI \).
- Do đó, \( AE \) là một cát tuyến của tam giác \( AEC \).
- Từ các tính chất của góc trong các hệ thống song song, chúng ta có:
\[
\angle AEK = \angle AKE
\]
(bởi vì \( AM \) và \( EI \) cắt nhau tại \( K \) và tạo thành các góc bù nhau).

***Tóm lại: \( \angle AEK = \angle AKE \).***

**Câu f**: Chứng minh A là trung điểm của KF.

- Từ câu e, chúng ta biết rằng \( \angle AEK = \angle AKE \).
- Nếu \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( KF \), thì có nghĩa rằng \( AK = AF \).
- Hơn nữa, các góc \( AEK \) và \( AKE \) là các góc đối đỉnh của tam giác cân mà \( AE = AK + KA \).
- Nếu \( A \) là trung điểm của \( KF \), \( K \) và \( F \) cách đều điểm \( A \), tức \( AK = AF \).
- Do đó từ các định lý về tính đối xứng và trung điểm, chứa sự tương đồng, ta có:
\[
AK = AF
\]
- Vậy \( A \) là trung điểm của đoạn \( KF \).

***Tóm lại: A là trung điểm của KF.***

Hy vọng rằng các chứng minh trên là đủ rõ ràng và đủ sức thuyết phục cho bạn trong việc giải quyết các câu hỏi cụ thể này!