Để tìm m để hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - m^2} \) có giá trị nhỏ nhất \( y = \frac{1}{2} \), ta làm như sau:

1. **Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số**: Ta cần tính giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để làm điều này, ta xét đạo hàm:

\[
y = \frac{x + 1}{x - m^2}
\]

Đạo hàm sẽ là:

\[
y' = \frac{(x - m^2)(1) - (x + 1)(1)}{(x - m^2)^2} = \frac{x - m^2 - x - 1}{(x - m^2)^2} = \frac{-m^2 - 1}{(x - m^2)^2}
\]

Đạo hàm này sẽ bằng 0 khi tử số bằng 0, tức là không có điểm cực trị nào.

2. **Tìm điều kiện tối thiểu**: Để \( y \) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( \frac{1}{2} \), ta thay giá trị này vào hàm số:

\[
\frac{x + 1}{x - m^2} = \frac{1}{2}
\]

Ta nhân chéo và đơn giản hóa:

\[
2(x + 1) = x - m^2 \implies 2x + 2 = x - m^2
\]

\[
x - 2x = -m^2 - 2 \implies -x = -m^2 - 2 \implies x = m^2 + 2
\]

3. **Đưa vào hàm số**: Thay \( x \) vào hàm để tính \( y \):

\[
y(m^2 + 2) = \frac{(m^2 + 2) + 1}{(m^2 + 2) - m^2} = \frac{m^2 + 3}{2}
\]

Để \( \frac{m^2 + 3}{2} = \frac{1}{2} \), ta có:

\[
m^2 + 3 = 1 \implies m^2 = -2
\]

Điều này không giải thích được. Thay vào điều kiện tối thiểu ban đầu:

Khi xét giới hạn, ta có:

4. **Kiểm tra các điều kiện**: Xem xét các dãy điều kiện cho \( m \):

- Với câu A: \( 3 < m \leq 4 \)
- Với câu B: \( -2 < m \leq 3 \)
- Với câu C: \( m > 4 \)
- Với câu D: \( m \leq -2 \)

Kiểm tra từng khoảng và xác định vùng hợp lý cho \( m \) sao cho \( y = \frac{1}{2} \) có thể xảy ra.

Kết luận cuối cùng sẽ là phương án nào phù hợp nhất với các điều kiện giá trị nhỏ nhất đồng thời đảm bảo hàm số đi qua điểm đã cho.