Để giải và biện luận hệ phương trình

\[
\begin{cases}
2x + (m - 4)y = 16 \quad (1) \\
(4 - m)x - 50y = 80 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xét các trường hợp của tham số \( m \)

1. **Trường hợp 1**: \( m - 4 \neq 0 \) và \( 4 - m \neq 0 \)

Trong trường hợp này, hệ phương trình có dạng đồng nhất và có nghiệm duy nhất.

- Giải phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm \( x \) và \( y \).

2. **Trường hợp 2**: \( m - 4 = 0 \) (\( m = 4 \))

- Phương trình (1) trở thành:
\[
2x = 16 \implies x = 8
\]
- Thay \( m = 4 \) vào phương trình (2):
\[
0 \cdot x - 50y = 80 \implies -50y = 80 \implies y = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}
\]
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (8, -\frac{8}{5}) \).

3. **Trường hợp 3**: \( 4 - m = 0 \) (\( m = 4 \))

- Phương trình (2) trở thành:
\[
0 \cdot x - 50y = 80 \implies -50y = 80 \implies y = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}
\]
- Thay vào phương trình (1) để tìm \( x \):
\[
2x + (0)y = 16 \implies 2x = 16 \implies x = 8
\]
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (8, -\frac{8}{5}) \).

4. **Trường hợp 4**: \( m - 4 = 0 \) và \( 4 - m = 0 \)

- Thì \( m = 4 \) dẫn đến hệ phương trình trở thành đồng nhất (mỗi phương trình giống nhau).
- Hệ vô số nghiệm.

### Bước 2: Kết luận

- Khi \( m \neq 4 \): Hệ có nghiệm duy nhất.
- Khi \( m = 4 \): Hệ có nghiệm duy nhất \( (8, -\frac{8}{5}) \), và đồng nhất trong trường hợp \( m = 4 \).

Do đó, hệ phương trình giải và biện luận như sau:
- **Nghiệm duy nhất**: \( m \neq 4 \)
- **Nghiệm duy nhất**: \( m = 4 \rightarrow (8, -\frac{8}{5}) \)
- **Vô số nghiệm** nếu phương trình trở thành đồng nhất với \( m = 4 \).