Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tính được công suất (tốc độ chảy) của mỗi vòi.

**Bước 1: Tính công suất của hai vòi**

Ta có thông tin rằng hai vòi cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 30 phút (90 phút) bể đầy. Vậy công suất chung của hai vòi là:
\[
C_{1 + 2} = \frac{1}{90} \text{ bể/ phút}
\]

**Bước 2: Tìm công suất riêng của từng vòi**

Gọi công suất của vòi I là \( C_1 \) và công suất của vòi II là \( C_2 \). Khi hai vòi cùng chảy thì:
\[
C_1 + C_2 = \frac{1}{90}
\]

**Bước 3: Tính công suất từ tình huống 15 phút vòi I và 20 phút vòi II**

- Trong 15 phút, vòi I chảy được:
\[
15 \cdot C_1
\]

- Tiếp theo, trong 20 phút, vòi II chảy được:
\[
20 \cdot C_2
\]

Và tổng lượng nước chảy được sau khi mở vòi I 15 phút và vòi II 20 phút là \( \frac{1}{5} \) bể, tức là:
\[
15C_1 + 20C_2 = \frac{1}{5}
\]

**Bước 4: Chuyển đổi phương trình**

Ta có hệ phương trình sau:
1. \( C_1 + C_2 = \frac{1}{90} \)
2. \( 15C_1 + 20C_2 = \frac{1}{5} \)

Để giải hệ phương trình này, ta có thể thay thế \( C_2 \) từ phương trình 1 vào phương trình 2:
\[
C_2 = \frac{1}{90} - C_1
\]
Thay vào phương trình 2:
\[
15C_1 + 20\left(\frac{1}{90} - C_1\right) = \frac{1}{5}
\]
Giải phương trình:
\[
15C_1 + \frac{20}{90} - 20C_1 = \frac{1}{5}
\]
\[
-5C_1 + \frac{2}{9} = \frac{1}{5}
\]

Tính \( \frac{1}{5} \) về mẫu chung:
\[
\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = \frac{18}{90}
\]
Vậy:
\[
-5C_1 + \frac{2}{9} = \frac{18}{90}
\]
Multiplying both sides by 90 to eliminate the fractions:
\[
-5 \cdot 90 C_1 + 20 = 18
\]
\[
-450 C_1 = -2
\]
\[
C_1 = \frac{2}{450} = \frac{1}{225}
\]

Tính \( C_2 \):
\[
C_2 = \frac{1}{90} - C_1 = \frac{1}{90} - \frac{1}{225}
\]
Chuyển về mẫu chung:
\[
C_1 = \frac{5}{1125}, \quad C_2 = \frac{1}{90} - \frac{1}{225} = \frac{5}{450} - \frac{2}{450} = \frac{3}{450} = \frac{1}{150}
\]

**Bước 5: Tính thời gian để mỗi vòi đầy bể riêng**

- Vòi I:
\[
\text{Thời gian } = \frac{1}{C_1} = 225 \text{ phút}
\]
- Vòi II:
\[
\text{Thời gian } = \frac{1}{C_2} = 150 \text{ phút}
\]

Vậy nếu mở vòi I chảy riêng thì đầy bể trong **225 phút**, còn vòi II đầy bể trong **150 phút**.