Để giải bài toán này, ta cần xác định phương trình đường tròn (C) từ phương trình cho trước:

\[
x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0
\]

Bước 1: Chuyển đổi thành dạng chuẩn của phương trình đường tròn.

Ta nhóm các hạng tử lại:

\[
(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) = 4
\]

Bước 2: Tìm tọa độ tâm và bán kính.

- Đối với \(x^2 - 2x\): Thêm và bớt \(1\) (có \( (-1)^2 \)):
\[
(x - 1)^2 - 1
\]

- Đối với \(y^2 - 4y\): Thêm và bớt \(4\) (có \( (-2)^2 \)):
\[
(y - 2)^2 - 4
\]

Thay vào phương trình:

\[
(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 4
\]

Rút gọn:

\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9
\]

Từ đó, ta có tâm là \(B(1, 2)\) và bán kính \(R = 3\).

Bước 3: Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A(1, 5)\).

Khoảng cách từ điểm \(A(1, 5)\) đến tâm \(B(1, 2)\) là:

\[
d = |5 - 2| = 3
\]

Bước 4: Vì khoảng cách tính được bằng bán kính, thì điểm \(A\) nằm trên đường tròn.

Tiếp tuyến tại điểm \(A\) vuông góc với bán kính nên có hệ số góc là ngược dấu của hệ số góc từ \(B\) đến \(A\).

Hệ số góc của đường thẳng từ \(B(1, 2)\) đến \(A(1, 5)\):

\[
\text{slope} = \frac{5 - 2}{1 - 1} = \text{undefined} \quad (\text{Đường thẳng đứng})
\]

Do đó, tiếp tuyến sẽ là đường thẳng ngang (trong trường hợp này, phương trình tiếp tuyến là \(y = 5\)).

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\) là:

\[
y - 5 = 0
\]

Kết luận: Phương trình đường thẳng là \(y - 5 = 0\), chọn đáp án \(A\).