Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} - \frac{2}{y-2} = 1 \\
\frac{2}{x+1} - \frac{5}{y-2} = 3
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ký hiệu:

\[
a = \frac{1}{x+1}, \quad b = \frac{1}{y-2}
\]

Vậy ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
a - 2b = 1 \quad (1) \\
2a - 5b = 3 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Bước 1:** Giải phương trình (1) để tìm \( a \):

Từ (1):

\[
a = 1 + 2b
\]

**Bước 2:** Thay giá trị \( a \) vào (2):

\[
2(1 + 2b) - 5b = 3
\]

Giải phương trình:

\[
2 + 4b - 5b = 3 \\
2 - b = 3 \\
-b = 1 \\
b = -1
\]

**Bước 3:** Thay giá trị \( b \) vào (1) để tìm \( a \):

\[
a - 2(-1) = 1 \\
a + 2 = 1 \\
a = -1
\]

**Bước 4:** Quay lại để tìm \( x \) và \( y \):

\[
\frac{1}{x+1} = -1 \Rightarrow x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2
\]

\[
\frac{1}{y-2} = -1 \Rightarrow y - 2 = -1 \Rightarrow y = 1
\]

**Kết quả:** Hệ phương trình có nghiệm:

\[
(x, y) = (-2, 1)
\]