Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \( P(x) = (x^2 - 4x + x + 3)(3x^2 - 2x - 3x + 4) \), ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Đơn giản hóa từng đa thức

1. Đơn giản hóa đa thức thứ nhất:
\[
x^2 - 4x + x + 3 = x^2 - 3x + 3
\]

2. Đơn giản hóa đa thức thứ hai:
\[
3x^2 - 2x - 3x + 4 = 3x^2 - 5x + 4
\]

### Bước 2: Tính bậc của đa thức

Bậc của tích hai đa thức là tổng bậc của từng đa thức.
- Bậc của \( x^2 - 3x + 3 \) là 2.
- Bậc của \( 3x^2 - 5x + 4 \) là 2.

Do đó, bậc của \( P(x) \) là \( 2 + 2 = 4 \).

### Bước 3: Tính hệ số cao nhất

Hệ số cao nhất của một đa thức là hệ số của biến có bậc cao nhất.
- Hệ số cao nhất của \( x^2 - 3x + 3 \) là 1 (hệ số của \( x^2 \)).
- Hệ số cao nhất của \( 3x^2 - 5x + 4 \) là 3 (hệ số của \( 3x^2 \)).

Hệ số cao nhất của tích \( P(x) \) sẽ là tích của các hệ số cao nhất của từng đa thức:
\[
1 \cdot 3 = 3
\]

### Bước 4: Tính hệ số tự do

Hệ số tự do của một đa thức là hằng số mà không có biến.
- Hệ số tự do của \( x^2 - 3x + 3 \) là 3.
- Hệ số tự do của \( 3x^2 - 5x + 4 \) là 4.

Hệ số tự do của tích \( P(x) \) sẽ là tích của các hệ số tự do:
\[
3 \cdot 4 = 12
\]

### Kết quả

Tóm lại:
- Bậc của \( P(x) \) là \( 4 \).
- Hệ số cao nhất là \( 3 \).
- Hệ số tự do là \( 12 \).

Vậy ta có:
- **Bậc**: 4
- **Hệ số cao nhất**: 3
- **Hệ số tự do**: 12