1. Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). Ta biết rằng trọng tâm \( G \) chia mỗi trung tuyến của tam giác thành tỉ lệ \( 2:1 \), với đoạn từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện.

Gọi các điểm như sau:
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( \vec{G} \) là vectơ tọa độ của điểm \( G \).
- \( \vec{B}, \vec{C}, \vec{A} \) lần lượt là tọa độ các điểm \( B, C, A \).

Ta có:
\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
\]

Từ đó, ta có thể tính các vectơ \( \vec{BC}, \vec{CA}, \vec{AB} \) như sau:

\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (\vec{G} + \frac{1}{3}(\vec{A} - \vec{C})) - (\vec{G} + \frac{1}{3}(\vec{A} - \vec{B})) = \frac{2}{3}\vec{G} + \frac{1}{3} (\vec{C} - \vec{B})
\]

\[
\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (\vec{G} + \frac{1}{3}(\vec{B} - \vec{A})) - \vec{G} = -\frac{1}{3}(\vec{A} - \vec{B})
\]

\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\vec{G} + \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{B})) - \vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{B} - \vec{C})
\]

Tóm lại, ta có thể biểu thị các vectơ theo \( \vec{GB}, \vec{GC} \):
\[
\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{GB} + \vec{GC}), \quad \vec{CA} = -\frac{1}{2}\vec{GC}, \quad \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{GB}
\]

2. Cho điểm \( M \) nằm trên đường thẳng \( BC \) sao cho \( MB = 3MC \). Điều này có nghĩa là \( M \) chia đoạn \( BC \) theo tỉ lệ \( 3:1 \).

Gọi \( \vec{M} \) là tọa độ của điểm \( M \). Ta có thể biểu diễn \( \vec{M} \) như sau:
\[
\vec{M} = \frac{3}{4}\vec{B} + \frac{1}{4}\vec{C}
\]

Để phân tích \( \vec{AM} \) theo các vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):
\[
\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = \left(\frac{3}{4}\vec{B} + \frac{1}{4}\vec{C}\right) - \vec{A}
\]
\[
= \frac{3}{4}(\vec{B} - \vec{A}) + \frac{1}{4}(\vec{C} - \vec{A}) = \frac{3}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}
\]

Vậy thành phần của \( AM \) theo \( AB \) và \( AC \) là:
\[
AM = \frac{3}{4} AB + \frac{1}{4} AC
\]