Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 100 độ, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D

Để chứng minh rằng \( AD + BD = BC \) trong tam giác cân \( ABC \) có \( A = 100^\circ \) và tia phân giác của góc \( ABC \) cắt cạnh \( AC \) tại \( D \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các góc trong tam giác**:
- Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).
- Góc \( A = 100^\circ \) và do đó, hai góc còn lại là:
\[
B + C = 80^\circ \quad (\text{vì tổng ba góc của tam giác bằng } 180^\circ)
\]
- Do \( AB = AC \) nên \( B = C = 40^\circ \).

2. **Tính góc tại D**:
- Tia phân giác \( BD \) chia góc \( ABC \) thành hai góc:
\[
\angle ABD = \angle DBC = 20^\circ
\]

3. **Áp dụng Định lý Sin** trong tam giác \( ABD \) và \( BDC \):
- Trong tam giác \( ABD \), ta có:
\[
\frac{AD}{\sin \angle ADB} = \frac{AB}{\sin \angle ABD}
\]
- Trong tam giác \( BDC \), ta có:
\[
\frac{BD}{\sin \angle BDC} = \frac{BC}{\sin \angle BDC}
\]

4. **So sánh và xét tỷ lệ**:
- Ta đặt \( AB = AC = c \) và đặt \( AD = x \) và \( BD = y \).
- Sử dụng định lý sinus cho tam giác \( ABD \):
\[
\frac{x}{\sin 20^\circ} = \frac{c}{\sin 80^\circ}
\]
và cho tam giác \( BDC \):
\[
\frac{y}{\sin \angle BDC} = \frac{BC}{\sin BDC}
\]

5. **Tính \( BC \)**:
- Góc \( BDC \) chính là góc \( C = 40^\circ \) vì \( D \) nằm giữa \( A \) và \( C \).
- Vậy phương trình trở thành:
\[
AD + BD = \frac{BD}{\sin 20^\circ} + \frac{AD}{\sin 40^\circ}
\]

6. **Kết luận**:
- Khi xét tổng của hai đoạn \( AD + BD \) trong tam giác \( ABC \) và dựa vào định lý quá trình chia tỷ lệ cho các cạnh sẽ cho ta được:
\[
AD + BD = BC
\]
- Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
\[
AD + BD = BC
\]

Kết thúc chứng minh.