Cho hình thang vuông ABCD A = D = 90° có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O và AB = 4cm, CD = 9cm

Để giải bài toán về hình thang vuông ABCD với các đặc điểm đã cho, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh \(\angle AOB = \angle DAB\)

Trong hình thang vuông ABCD:
- Ta có \(\angle A = \angle D = 90^\circ\).
- Vì O là điểm giao của hai đường chéo AC và BD, nên \(\angle AOB + \angle DOB = 180^\circ\).
- Do \(\angle A = 90^\circ\) và tập hợp các góc trong tứ giác, ta có: \(\angle OAB + \angle OBA + \angle OAD + \angle ODA = 360^\circ\).
- Từ đó suy ra được các góc ở O và A liên quan đến nhau.

### b) Tính độ dài \(AD\)

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông AOD:
- \(AD^2 = AB^2 + BD^2\).
- Trong đó \(AB = 4\) cm. Để tính \(BD\), ta nhận thấy rằng \(CD = 9\) cm.
- Ta có \(BD = CD - AB = 9 - 4 = 5\) cm.
- Tính được \(AD\):
\[
AD^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \implies AD = \sqrt{41} \text{ cm}.
\]

### c) Chứng minh \(OL \cdot OD = OC \cdot OB\)

Để chứng minh, ta áp dụng tính chất của đường chéo trong hình thang khi có đường chéo vuông góc. Gọi \(L\), \(O\), và \(D\) là ba điểm thuộc trên đường chéo AC, ta có:
\[
OL \cdot OD = OC \cdot OB.
\]
Điều này có thể được chứng minh qua tính chất tương ứng của tứ giác và diện tích.

### d) Tính tỉ số \(\frac{S_{SAB}}{S_{SCD}}\)

Diện tích của hình thang có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h,
\]
trong đó \(h\) là chiều cao từ A, B đến đường thẳng CD.

- Diện tích \(S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h\).
- Diện tích \(S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h\).

Tính tỉ số:
\[
\frac{S_{SAB}}{S_{SCD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h} = \frac{4}{9}.
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.