Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD; CE cắt nhau tại H. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN

1. **Xác định tọa độ điểm:**
- Giả sử các điểm A, B, C có tọa độ A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Tính tọa độ H là giao điểm của hai đường cao BD và CE.

2. **Xác định vị trí điểm M và N:**
- Điểm M là hình chiếu của E trên BC, điểm N là hình chiếu của D trên BC. Sử dụng công thức hình chiếu để xác định tọa độ của M và N.

3. **Tính khoảng cách:**
- Tính khoảng cách từ H đến M và H đến N. Qua đó, sử dụng định lý Pitago hoặc công thức khoảng cách để tìm được EM và DN.

4. **Thực hiện tỉ số:**
- Cuối cùng, so sánh hai khoảng cách này bằng cách chứng minh tỉ số \(\frac{EM}{DN} = \frac{H đến EM}{H đến DN}\).

### b) Gọi O là giao điểm của DM và EN. Chứng minh HO vuông góc với BC

1. **Tìm giao điểm O:**
- Sử dụng phương trình đường thẳng để tìm tọa độ điểm O.

2. **Chứng minh HO vuông góc với BC:**
- Tính vectơ HO và vectơ BC.
- Sử dụng tích vô hướng: Nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng 0, tức là hai vectơ này vuông góc với nhau. Áp dụng công thức để tìm tích vô hướng.

3. **Kết luận:**
- Dựa vào các tính toán trên, ta sẽ có chứng minh ví dụ câu hỏi yêu cầu.

Hy vọng các bước trên giúp bạn giải quyết bài toán! Nếu cần hỗ trợ cụ thể hơn với từng bước, vui lòng cho biết.