Để phân tích đa thức \(2x^3 - 8x^2 - 24x + 54\) thành nhân tử, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách đưa hệ số chung ra ngoài.

Bước 1: Tìm hệ số chung
Đa thức này có hệ số chung ở yếu tố 2. Ta phân tích như sau:

\[
2(x^3 - 4x^2 - 12x + 27)
\]

Bước 2: Phân tích đa thức bậc ba \(x^3 - 4x^2 - 12x + 27\)
Để phân tích tiếp, chúng ta sẽ tìm nghiệm của đa thức này. Có thể thử nghiệm với các giá trị nguyên để tìm nghiệm.

Thử \(x = 3\):

\[
3^3 - 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 27 = 27 - 36 - 36 + 27 = -18 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Thử \(x = 1\):

\[
1^3 - 4 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 27 = 1 - 4 - 12 + 27 = 12 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Thử \(x = -3\):

\[
(-3)^3 - 4 \cdot (-3)^2 - 12 \cdot (-3) + 27 = -27 - 36 + 36 + 27 = 0 \quad (\text{đây là nghiệm!})
\]

Vậy, \(x = -3\) là một nghiệm của đa thức. Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng phép chia đa thức để tìm ra phần còn lại.

Bước 3: Chia đa thức
Chia \(x^3 - 4x^2 - 12x + 27\) cho \(x + 3\).

\[
x^3 - 4x^2 - 12x + 27 = (x + 3)(x^2 - 7x + 9)
\]

Bước 4: Phân tích tiếp \(x^2 - 7x + 9\)
Ta sẽ áp dụng công thức nghiệm:

\[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13
\]

Vì \(D > 0\), nó có hai nghiệm phân biệt thực:

\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}
\]

Bước 5: Tổng hợp lại
Cuối cùng, ta có thể viết đa thức ban đầu như sau:

\[
2x^3 - 8x^2 - 24x + 54 = 2(x + 3) \left(x^2 - 7x + 9\right)
\]

Trong đó, \(x^2 - 7x + 9\) không thể phân tích thêm ra thành nhân tử với hệ số thực.

Kết quả cuối cùng:
\[
2x^3 - 8x^2 - 24x + 54 = 2(x + 3)\left(x^2 - 7x + 9\right)
\]